在數位資訊時代，確保通訊安全與隱私至關重要。RSA加密算法，作為公開金鑰密碼學（非對稱加密）領域中最具代表性也最廣為人知的加密算法，自1977年由羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）三位在麻省理工學院的學者提出以來，便成為現代網路安全的基石之一。這個rsa算法的命名源自三位發明者姓氏的開頭字母縮寫。
RSA的巧妙之處在於它利用了特定數學問題的「易守難攻」特性——將两個極大的質數相乘輕而易舉，但要將其乘積進行因式分解，在计算机的運算上卻是極端困難的。正是這種計算上的不對稱性，奠定了rsa加密的安全性基礎。本文將深入淺出地剖析RSA的運作原理，從其核心的數學基礎講起，逐步推展至金鑰生成、加解密流程、實際應用、安全性分析以及其在當代所面臨的挑戰與未來展望。
一、RSA演算法的數學基礎
要透徹理解RSA，必須先掌握幾個關鍵的數論概念。這些是構建rsa加密算法的基石。
質數與互質數 (Prime and Coprime Numbers)
- 質數（素數）：一個大於1的自然數，除了1和它自身以外，不能被其他任何自然數整除。例如 2, 3, 5, 7, 11…。
- 互質數（互素數）：如果两個或兩個以上的整數，其最大公因數是1，則稱它們互質。例如，8和15互質，因為它們的最大公因數是1。需要注意的是，互質的两個數不一定本身都是質數。
歐拉函數 (Euler’s Totient Function)
歐拉函數 φ(n) 用於計算小於或等於n的正整數中，與n互質的數的總個數。它在RSA中扮演核心角色。
如果n是一個質數p，則 φ(p) = p – 1。
如果n是两個相異質數p和q的乘積n（即 n = p q），則 φ(n) = φ(p) φ(q) = (p – 1) * (q – 1)。這是RSA密匙生成中的關鍵公式。
歐拉定理 (Euler’s Theorem)
若a和n為两個互質的正整數，則a的φ(n)次方除以n的餘數恆等於1。寫成公式即：
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
這是RSA解密過程能夠還原明文的理論基礎。
模反元素 (Modular Multiplicative Inverse)
如果两個正整數a和n互質，那麼必然可以找到一個整數b，使得 a b 除以n的餘數為1。這時，b就稱為a關於模n的模反元素。公式表達為：
a b ≡ 1 (mod n)
在RSA中，我們需要找到公鑰指數e和關於φ(n)的模反元素d，作為私鑰指數。
二、RSA演算法的運作原理
RSA的整個生命週期包含三個核心階段：金鑰生成、加密和解密。
1. 金鑰生成（Key Generation）
假設Alice希望安全地接收來自Bob的訊息，她需要先生成一對密钥：一把公钥（可公開給任何人）和一把私钥（必須秘密保存）。
步驟一：選擇兩個大質數 (p, q)
隨機選擇兩個巨大且不相等的質數 p 和 q。密鑰的強度直接取決於這兩個質數的大小。在現代應用中，p 和 q 的長度可能達到1024位元或更高。
步驟二：計算模數 (n)
計算 n = p * q。這個 n 是公鑰和私鑰共用的一部分，其位元長度即為RSA密鑰長度（例如2048位元）。
步驟三：計算歐拉函數 (φ(n))
根據公式，計算 φ(n) = (p – 1) * (q – 1)。這個值在後續計算私鑰時至關重要，但它本身是保密的。
步驟四：選擇公鑰指數 (e)
選擇一個整數 e，此為加密算法e，它必須滿足以下兩個條件：
- 1 < e < φ(n)
- e 與 φ(n) 互質（即 gcd(e, φ(n)) = 1）。
在實際應用中，為了計算效率，e 通常會選擇一個較小的值，最常見的是 65537（即 2^16 + 1），因為它既是質數，二進制表示中又只有兩個1，能顯著提高加密速度。
步驟五：計算私鑰指數 (d)
計算 e 關於 φ(n) 的模反元素 d，此為算法d。也就是說，找到一個 d 使得：
e * d ≡ 1 (mod φ(n))
這個 d 就是私鑰的核心部分，也就是解密密鑰。
步驟六：組合與銷毀
- 公鑰由 (e n) 組成。Alice可以將這把公鑰發送給任何人，例如Bob。
- 私鑰（保密密鑰或稱secret key）則是由 (d n) 組成。Alice必須妥善保管，絕不外洩。
- 完成密鑰生成後，原始的質數 p 和 q 必須被安全銷毀，因為一旦洩漏，φ(n) 就能被輕易算出，進而從公鑰 e 推導出私鑰 d。
2. 加密過程 (Encryption)
Bob現在擁有了Alice的公钥 (n, e)，他想發送一條訊息 m 給Alice這位接收者。
- 訊息轉換：首先，需要將原始訊息 m（無論是文字、圖片或其他資料）通過約定的編碼方式（如UTF-8、ASCII）轉換成一個或多個小於 n 的整數。如果訊息轉換後的整數大於 n，則需要將其分段處理。
- 執行加密：Bob使用以下金鑰加密公式計算密文 c：
- c = m的e次方 mod n
- 計算完成後，Bob將密文 c 透過不安全的通道（如網際網路）發送給Alice。
3. 解密過程 (Decryption)
Alice收到了來自Bob的密文 c。她使用自己秘密保管的私鑰 (n, d) 來解密。
執行解密：Alice使用以下公式計算原始訊息 m，這個解密的過程涉及c d n：
m = c^d mod n
由於歐拉定理的數學保證，這個計算結果將會精確地還原出Bob加密前的原始整數 m。Alice再通過約定的解碼方式將整數 m 轉換回原始訊息。
三、RSA的實際應用
RSA的非對稱特性使其在多個安全領域中發揮著不可或缺的作用，但由於其運算速度相對較慢，通常不直接用於加密大量資料，這時會結合傳統加密方法。
建立安全連線
在HTTPS的SSL/TLS握手協議中，RSA被用來安全地交換對稱的加密的密鑰。瀏覽器使用伺服器的公鑰加密一個隨機生成的對稱密鑰，並將其發送給伺服器。伺服器用其私鑰解密，從而雙方獲得了相同的對稱密鑰，後續的大量通訊資料則由這個對稱密鑰（如AES）進行高效加密。VPN（如OpenVPN）的連線建立過程也採用了類似的機制。
數位簽章 (Digital Signature)
數位簽章是RSA的另一個核心應用，其過程與加密方式恰好相反。
1. 簽署：Alice想發送一份文件並證明該文件確實由她發出且未被篡改。她首先對文件內容進行雜湊運算（如SHA-256）得到一個固定長度的雜湊值，然後用自己的私鑰對這個雜湊值進行加密，產生的結果就是數位簽章。
2. 驗證：Bob收到文件和數位簽章後，他用Alice的公鑰解密簽章，得到原始的雜湊值。同時，他也對收到的文件本身執行相同的雜湊運算。如果兩個雜湊值完全一致，則證明文件來源可靠且內容完整。
混合加密系統 (Hybrid Encryption)
這是最常見的模式。由於RSA運算資源消耗大、速度慢，而對稱加密（如AES）速度快，因此結合兩者優點。發送方用高效的AES加密大量資料，然後用接收者的RSA公鑰僅加密這個短小的AES加密金鑰，最後將AES加密後的密文和RSA加密後的密钥一同發送。接收者用自己的RSA私鑰解開AES密鑰，再用AES密鑰解開大量資料。
四、RSA的安全性與挑戰
RSA的安全性並非絕對，它依賴於實作的嚴謹性、密鑰的長度以及當前的計算技術水平。
金鑰長度與安全級別
密鑰長度是抵禦暴力破解的第一道防線。隨著電腦能力的飛速發展，曾經安全的密鑰長度逐漸變得脆弱。
| 保密級別 (對稱密钥長度) | RSA密钥長度 (位元) | ECC密钥長度 (位元) | 預計保密年限 |
|---|---|---|---|
| 80位元 | 1024 | 160 | ~2010 (已不安全) |
| 112位元 | 2048 | 224 | ~2030 |
| 128位元 | 3072 | 256 | ~2040 |
| 192位元 | 7680 | 384 | ~2080 |
| 256位元 | 15360 | 512 | ~2120 |
- RSA-155 (512位元) 已在1999年被成功分解。
- RSA-768 (768位元) 於2009年被成功分解，這一事件直接威脅了當時普遍使用的1024位元密钥的安全性。
目前，業界普遍建議使用至少2048位元的RSA密鑰。NIST（美國國家標準暨技術研究院）建議在2030年底前，2048位元的密鑰仍是安全的。
已知的攻擊方法
大數因式分解攻擊 (Factoring Attack)：這是最直接的攻擊方式。一旦攻擊者能將公開的模數 n 分解為 p 和 q，整個RSA密碼系統便土崩瓦解。目前最有效的方法是「普通數體篩選法」。
旁路攻擊 (Side-channel Attack)：這類攻擊不直接破解數學難題，而是通過分析加密設備在運算過程中的物理表現來竊取資訊。例如：時間攻擊 (Timing Attack)：通過精確測量解密不同密文所需的時間差異，推斷出私鑰 d 的位元資訊。
選擇密碼文攻擊 (Chosen-ciphertext Attack)：攻擊者選擇特定的密文，讓持有私鑰的實體進行解密，並根據解密結果（或是否成功）來推斷私鑰的資訊。使用OAEP等填充方案可以有效防禦此類攻擊。
實作層面的漏洞：
- 弱隨機數生成器：如果用於生成質數 p 和 q 的隨機數生成器不夠隨機或可被預測，攻擊者可能更容易猜到質數。
- 不當的金鑰生成：如果 p 和 q 的值太小或彼此太接近，或者 p-1、q-1 的因子太小，都會使 n 更容易被分解。
未來的挑戰：量子計算
對RSA最根本的威脅來自於量子電腦。1994年，數學家彼得·秀爾（Peter Shor）提出的秀爾演算法（Shor’s Algorithm），理論上證明了量子電腦可以在多項式時間內完成大數因式分解。一旦實用的大規模量子计算机問世，現有的RSA加密體系將在數秒或數分鐘內被破解。
因此，密碼學界正在積極研究和標準化後量子密碼學（Post-Quantum Cryptography, PQC），尋找能夠抵禦傳統電腦和量子電腦攻擊的新一代加密算法。與此同時，橢圓曲線密碼學（ECC）因其在同等安全級別下擁有更短的密鑰和更快的運算速度，已在許多場景下成為RSA的優先替代方案。
常見問題 (FAQ)
Q1: 為什麼RSA是安全的？
A1: RSA的安全性主要基於「大數因式分解難題」。將兩個極大的質數相乘得到一個合數很容易，但要從這個合數反推出原始的兩個質數，在目前的經典電腦架構下，當數字足夠大時（如2048位元），計算上是不可行的。破解者無法從公開的模數 n 中分解出 p 和 q，就無法計算出私鑰 d，這個解密密鑰也無法獲取。
Q2: 非對稱加密（如RSA）和對稱加密（如AES）有什麼根本不同？
A2: 主要區別在於密鑰的使用。
對稱加密：加密和解密使用同一把密鑰。優點是速度快，適合加密大量資料；缺點是在通訊前必須找到一個安全的方式來共享這把密匙。
非對稱加密：使用一對密匙，即公鑰和私鑰。公鑰加密的資料只能用對應的私鑰解密。優點是解決了密鑰分發問題；缺點是運算速度慢得多。
Q3: 既然RSA這麼安全，為什麼不直接用它加密所有資料？
A3: 主要原因是性能問題。RSA涉及大量的模冪運算，其計算複雜度遠高於AES等對稱加密算法，速度要慢上百倍甚至千倍。如果用RSA直接加密大量資料（如一部電影、一個大型檔案），將會耗費極長的時問和大量的計算資源，完全不切實際。因此，業界普遍採用「混合加密」方案。
Q4: 現在建議使用的RSA金鑰長度是多少？
A4: 目前，業界公認的最低安全標準是2048位元。對於需要更高級別或更長遠保護的應用，可以考慮使用3072位元或4096位元的密鑰。1024位元的密匙已被視為不安全，應立即停止使用。
Q5: 量子電腦對RSA的威脅有多大？我們該如何應對？
A5: 威脅是致命的。一旦能夠穩定運行秀爾演算法的大規模量子電腦被製造出來，破解當前所有長度的RSA密鑰將變得輕而易舉，整個基於RSA的信任體系將會崩潰。應對方式是轉向「後量子密碼學（PQC）」，這些新演算法的安全性基於不同的數學難題，被認為能夠同時抵禦傳統電腦和量子電腦的攻擊。各國標準化組織和科技公司正在積極推動PQC的研發和部署。
總結
rsa算法作為非對稱加密的開創性成果，其設計思想深刻地影響了過去數十年的資訊安全領域。它不僅解決了在不安全通道中分發密匙的難題，還催生了數位簽章這一重要的信任機制。
然而，沒有永恆不破的盾。RSA的安全性高度依賴於大數分解的計算難度，這使其在面對計算能力的指數級增長和量子計算的顛覆性威脅時，顯得愈發脆弱。密匙長度的不斷增加也帶來了性能上的負擔。
展望未來，雖然RSA可能不會立刻消失，但其在核心安全應用中的主導地位正逐漸被更高效、更具前瞻性的ECC和後量子密碼學演算法所取代。理解RSA，不僅是學習一段輝煌的密碼學歷史，更是洞察加密技術演進趨勢、迎接未來安全挑戰的必要一步。
