從古至今，人類對「圓」的探索從未停止，彷彿攀登山巔一般。圓形在自然界與生活中非常常見，月亮、車輪、地球甚至日常使用的馬克杯、硬幣等，皆以圓形為基礎。人們早在古文明時期（例如古埃及人和古希臘大數學家）就觀察到：不論圓的大小為何，只要量出其週長並除以直徑，就能得到同樣的值。這個不變的比值被命名為「圓周率」（Pi，常用希臘字母π表示）。古人初步觀測後發現它的近似值稍大於3，但想要更精準地掌握它的真實數值，卻是一段漫長且充滿挑戰的旅程。
時至今日，圓周率已不僅局限於幾何學或測圓周長的應用，而滲透到物理學、機率、統計、數論以及電腦科學的多個領域，只要是各領域的科學家肯定對它都不陌生。本文將從圓周率的定義開始，並橫跨古代、中世紀、近代，再到電腦時代的超高速計算技術，帶領讀者深度探究關鍵值π在人類文明史上的發展、重要公式、計算里程碑，以及其在各領域所扮演的關鍵角色。
一、圓周率的基本定義與幾何意義
1. 圓周率的由來
在歐幾里得幾何中，圓周率（π）是所有圓之「周長 C 與直徑 d 的比值」：
π = C ÷ d
無論圓的半徑大或小，C ÷ d 都是相同的定值。通常我們在日常計算時會用 3.14 表示它的近似值，但真實的π是一個無窮小數。它是無理數，意即小數部分無限且不循環。再者，1882 年德國數學家林德曼（Ferdinand von Lindemann）證明 π 是超越數，也就是說，它不是任何整係數多項式的根，亦不能由有限次的四則運算與開方運算精準地構造出來。
2. 名稱由來與符號演進
現今通用的符號「π」最早是在 1706 年，由英國數學家威廉·瓊斯（William Jones）正式提議用 π 的值來代表「圓周與其直徑之比」，後來萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）大力推廣使用，使得這個希臘字母「π」漸漸成為國際數學界對圓周率的共通符號。
- 1647 年：威廉·奧特雷德（William Oughtred）在著作中曾嘗試用 π 與 δ 表示圓周與直徑，但並未大規模普及。
- 1706 年：威廉·瓊斯最早明確用 π 指代「圓周長 ÷ 直徑」。
- 1736 年之後：萊昂哈德·歐拉在各種論文和通信中推廣 π；至 1748 年的《無窮小分析引論》裡，完全將 π 作為「圓周率」的正式符號，自此幾乎所有數學家皆沿用此用法。
3. π 在幾何中的核心地位
- 圓周長：
若圓半徑為 r，則圓周長 C = 2 × π × r。 - 圓面積：
若圓半徑為 r，則圓面積 A = π × r²(pi x 半徑平方)。 - 球體體積與表面積：
若球體半徑為 r，球體積 V = (4 ÷ 3) × π × r³，表面積 S = 4 × π × r²。
從這些基本的幾何關係可見，π 幾乎滲透到任何與圓有關的計算之中。事實上，它更常出現在傅立葉分析、複分析及量子物理等高等領域，是數學與科學中最知名、最重要的常數之一。
二、古代對圓周率的測量與計算
人類對圓周率的關心由來已久，最直觀的方式是「量取圓的周長，再除以直徑」，但這種方法受限於實際測量的誤差，且每次只能得到有限精度。為了更精準，古代數學家藉幾何推導與理論演算，逐步掌握 π 的數值。
1. 早期文明的近似
- 古巴比倫
在約西元前 1900～1600 年，出土的泥板顯示他們用 3.125 當作圓周率。 - 古埃及
在《萊因德數學紙草書》（約西元前 1650 年）中，有公式間接顯示他們取 (16 ÷ 9)² ≈ 3.1605。 - 聖經《列王紀上》
有關公元前約 10 世紀左右的文本，提到一口大鑊，其直徑與周長之比顯示 π 近似為 3。 - 印度
亦有古文獻顯示，約在公元前 4 世紀即已猜測圓周率約為 3.139 或 √10 ≈ 3.162。
上述早期近似值雖然誤差不算太小，但也展現人類在無任何微積分與幾何理論的幫助下，單靠「度量 + 經驗」就能找到不差於 1% 以內的 π 近似值，相當不易。
2. 阿基米德的幾何法
古希臘大數學家阿基米德（約西元前 287～212 年）是第一位採用嚴密幾何方法計算 π 的人。他先使用圓的內接正六邊形，推導出圓周率大於 3，再使用外切正六邊形（以較短的邊長逼近圓）推導出它小於 3.4641，接著連續細分到 96 邊形，最後得到：
3.1408 < π < 3.1429
亦常將其表示為：
223 ÷ 71 < π < 22 ÷ 7
（此處遵從「不使用分數」原則，可寫作 223 ÷ 71 ≈ 3.140845，22 ÷ 7 ≈ 3.142857。）
若以十進小數表示，阿基米德的上、下限大約是 3.1408 與 3.1429，故π約為 3.1418 左右。他最後亦提出 22 ÷ 7（約 3.142857） 是一個常見的近似。後人長久以來常視 22 ÷ 7 為圓周率的「約率」。
3. 中國的割圓術與祖沖之的貢獻
在東方，中國古代數學也從幾何出發進行了漫長的圓周率探究：
- 劉徽（西元 3 世紀）
他發展出「割圓術」，從圓的內接正 6 邊形、12 邊形、24 邊形……逐步細分，最終得到圓周率約 3.14 的結論。 - 祖沖之（西元 429～500 年）
祖沖之延續劉徽割圓術精神，將多邊形的邊數細分到 12288 邊形，並得到小數點後第七位正確的圓周率近似值 3.1415926 到 3.1415927。
同時提出兩個近似值：- 約率： 3.142857（對應於 22 ÷ 7）
- 密率： 355 ÷ 113 ≈ 3.14159292
從後世檢驗可知，355 ÷ 113 相當精確，小數點後前六位全中，與真實 π 的差僅在 10⁻⁷ 等級。祖沖之時代先於歐洲約 1000 年，此成就極為前衛，也曾讓中國在圓周率的精確掌握上維持世界之最長達數個世紀。
4. 其他地區的發展
- 印度
公元 499 年，阿耶波多（Aryabhata）使用約 3.1416 的數值；約在 14～15 世紀間，印度天文學家馬德哈瓦（Madhava）以無窮級數嘗試逼近 π，開啟歐洲人之前的級數計算先河。 - 阿拉伯世界與波斯數學
1424 年，卡西（Jamshid Al-Kashi）將圓周率計算到小數點後第 16 位，打破祖沖之保持近千年的紀錄。 - 歐洲中世紀晚期
阿拉伯數字逐漸傳入歐洲，法蘭西斯·韋達（Francois Vieta）、哈維（Adriaan van Roomen）等人也持續在多邊形算法或無窮級數上發力，但因計算繁瑣，進展速度仍慢。
在歐洲，π 也曾被稱為魯道夫數（Ludolph’s number）一段時間(德國20世紀以前都這麼叫)。這些先驅的嘗試大多依靠「類割圓術」的幾何細分法，隨著邊數增加而逐步收斂到真實的圓周長，但一旦邊數非常龐大，手算就變得吃力。直到微積分概念出現，才真正帶來革命性的速率提升。
三、無窮級數時代：解析法的崛起
1. 格雷果里、萊布尼茨與格雷果里－萊布尼茲公式
17 世紀是數學發展的關鍵時代，詹姆斯·格雷果里（James Gregory）與戈特弗里德·萊布尼茲（Gottfried Leibniz）先後發現著名的反正切級數：
arctan(z) = z − (z³ ÷ 3) + (z⁵ ÷ 5) − (z⁷ ÷ 7) + … (無窮交錯級數)
將 z=1 帶入，可得
π ÷ 4 = 1 − (1 ÷ 3) + (1 ÷ 5) − (1 ÷ 7) + (1 ÷ 9) − (1 ÷ 11) + …
或寫成更直觀的 Unicode 表示：
π = 4 × [ 1 − (1 ÷ 3) + (1 ÷ 5) − (1 ÷ 7) + (1 ÷ 9) − (1 ÷ 11) + … ]
不過，若直接使用 z=1，此級數雖然美妙，但收斂速度相當慢，計算到數十萬次數才能得到小數後幾位而已。
2. 梅欽公式的誕生
為了加快收斂速度，約翰·梅欽（John Machin）在 1706 年發現可將 π 拆解成數個 arctan(1 ÷ x) 的組合：
π ÷ 4 = 4 × arctan(1 ÷ 5) − arctan(1 ÷ 239)
由於 arctan(1 ÷ 5) 與 arctan(1 ÷ 239) 對應的級數項次較少，大大加速了 π 的求值。靠此公式，梅欽算到小數點後 100 位，引發「梅欽類公式」的蓬勃發展；19～20 世紀的大多數人工高精度紀錄都是用梅欽類公式完成。
3. 其他顯著級數
- 韋達（Vieta）的無窮乘積
例如
2 ÷ π = (√2 ÷ 2) × (√(2+√2) ÷ 2) × (√(2+√(2+√2)) ÷ 2) × …
收斂速度不算太快，但為歐洲首次用無窮乘積表達 π。 - 沃利斯（Wallis）乘積公式
π ÷ 2 = (2 ÷ 1) × (2 ÷ 3) × (4 ÷ 3) × (4 ÷ 5) × (6 ÷ 5) × (6 ÷ 7) × …
也屬於 17 世紀經典成果。 - 拉馬努金（Ramanujan）公式
20 世紀初，天才數學家拉馬努金提出多條快速收斂的級數，為現代用電腦超高速算π 奠定基礎。他的其中一條著名級數：1 ÷ π = (2 × √2 ÷ 9801) × ∑ (k=0 to ∞) of [(4k)! × (1103 + 26390k)] ÷ [(k!)⁴ × (396)^(4k)]
只要計算幾十項就能取得很多小數位。
透過這些級數，數學家在 18～19 世紀進入「無窮級數計算時代」，不再局限於古代幾何法。尤其當牛頓與萊布尼茲各自發展出微積分後，一切關於圓周率的求值效率大幅提升。
四、從手算到計算機：圓周率計算的革命
1. 手算時代的極致
18 世紀到 19 世紀，雖然無窮級數逐步普及，但計算仍全靠人工。當時也誕生了一些傳奇案例：
- 達斯（Zacharias Dase）
擅長心算，曾在卡爾·弗里德里希·高斯的委託下，數個月內心算了 π 的 200 位，令人驚歎，也讓當時的工程師與研究者嘖嘖稱奇。 - 謝克斯（William Shanks）
在 1874 年花費 15 年時間算出 π 到小數點後 707 位，但從第 528 位開始出現錯誤，因此 528 位之後皆不正確。
2. 計算機的發展與破紀錄
(1) 早期電子計算機
- 1949 年，美國以 ENIAC 電子計算機（電子數值積分計算機）算到 π 小數點後 2037 位，耗時 70 小時。
- 1950～1960 年代，IBM 704、NORC 等計算機陸續將紀錄推進到數十萬位。
- 1973 年，CDC 7600 算到 100 萬位。
(2) 超級電腦與快速演算法
- AGM（算術－幾何平均）演算法：1975～1976 年，由薩拉明（Salamin）與布蘭特（Brent）獨立提出。此法每迭代一次，正確位數約翻倍。
- 楚德諾夫斯基（Chudnovsky）演算法：1987 年楚德諾夫斯基兄弟設計一條可非常迅速收斂的級數，如：
1 ÷ π = (12 ÷ (640320^(3 ÷ 2))) × ∑ (k=0 to ∞) of [(6k)! × (13591409 + 545140134k)] ÷ [(3k)! × (k!)³ × (−640320)^(3k)]
每計算 1 項可獲得約 14 位正確小數。
(3) 近年來的大紀錄
- 2010 年前後：陸續出現 1 兆、2.7 兆、5 兆、10 兆位紀錄。
- 2019 年 3 月 14 日：谷歌工程師岩尾はるか（Emma Haruka Iwao）利用 Google Cloud 成功算出 π 到 31.4 兆位數，耗時約 4 個月。
- 2021 年 8 月：瑞士研究人員利用超級計算機，歷時 108 天將 π 推進到 62.8 兆位。
- 2022～2024 年間：有開發者與多方團隊挑戰百兆位乃至更高紀錄，測試分散式雲端運算與高精度算法。
以下是一張「近現代重要 π 計算成果」簡表：
| 年份 | 團隊／人物 | 小數點後位數 | 備註 |
|---|---|---|---|
| 1949 | ENIAC | 2037 位 | 首次電子電腦計算 |
| 1973 | CDC 7600（Guilloud & Bouyer） | 100 萬位 | 打破人工極限，進入百萬位世代 |
| 1989 | 金田康正（Y. Kanada）等 | 10 億位 | 超級電腦運算里程碑 |
| 2009 | 法布里斯·貝拉（Fabrice Bellard） | 2.7 兆位 | 使用個人電腦加分散式算法 |
| 2019-03-14 | 岩尾はるか（Emma Haruka Iwao, Google） | 31.4 兆位 | 雲端計算，標誌性突破 |
| 2021-08 | 瑞士研究團隊 | 62.8 兆位 | 超級電腦算 108 天 |
| 2024 之前後 | 多國團隊（Solidigm 等） | 105 兆位（或更高） | 繼續刷新紀錄，測試雲端與高精度乘法算法 |
註：表格中所列小數點後位數為當時公開報導的成果，隨著硬體演進，紀錄不斷更迭。
五、圓周率在數學與其他領域的廣泛應用
雖然大多數工程與科學計算對 π 的需求只需小數點後幾十位甚至更少，但 π 之所以吸引無數數學家與電腦科學家長期挑戰，原因在於 「測試計算極限、驗證軟硬體運算正確性、研究無理數與亂數分佈等深層理論」。同時，π 在下列領域也扮演重要角色：
1. 幾何學與三角學
所有與圓、球、橢球相關的面積、體積、扇形弧長……皆離不開 π。例如傅立葉級數分析裡，週期函數的基底與三角函數週期 2π 息息相關。
2. 數論與級數研究
- 歐拉（Leonhard Euler）證明知名的巴塞爾問題：
∑(1 ÷ (n²), n=1→∞) = π² ÷ 6 - 透過黎曼 ζ 函數、質數分佈理論（Euler product 公式），也時常出現 π 的身影。
3. 機率論與布豐投針問題
18 世紀法國博物學家布豐（Buffon）以「在等距平行線上隨機擲針」的試驗方式求近似的 π。若針長 ℓ、平行線距離 t（ℓ ≤ t），可證明針與直線相交的機率 P 與 π 有關：
P ≈ 2 × (ℓ ÷ t)
或更一般的形式包含 π 的計算，引起日後蒙地卡羅方法用亂數模擬以逼近 π。
4. 物理學與自然科學
- 振動弦與波動方程
正弦、餘弦函數週期是 2π，使得無論是樂器泛音還是波動方程，都與 π 密切相關，也讓許多物理學家能據此描述能量、波頻等現象。 - 量子力學的海森堡不確定性
Δx × Δp ≥ ħ ÷ 2 ，而 ℏ（約化普朗克常數）裡也包含 2π 關係。 - 相對論方程
愛因斯坦場方程式裡 8πG ÷ c⁴ 也將 π 帶入了時空曲率。
5. 統計學與常態分布
常態分布（Gaussian distribution）機率密度函數
f(x) = (1 ÷ √(2πσ²)) × exp(−((x − μ)² ÷ (2σ²)))
指出隨機誤差、統計分布的普遍模型都蘊含 π。
六、探尋無窮：圓周率的性質與數學玄機
1. 無理性與非循環小數
π 是無理數：它的十進表示「無限不循環」。這意味著無法用整數比表示它，也無從用有限小數或循環小數完全表達。歷史上，蘭伯特（Johann Lambert）在 1761 年先證明了 π 為無理數。雖然在圓周率的小數段落中可能看似出現「連續多個 9」或「隱含花樣」，但都只是隨機分布的巧合。
2. 超越性與化圓為方的不可能
1882 年林德曼（Ferdinand von Lindemann）證明 e^(α) 若 α 為非零代數數，則 e^(α) 為超越數；由歐拉公式 e^(iπ) + 1 = 0 可推出 π 必為超越數。任何超越數都不能成為有理係數多項式的根，也不可能用尺規作圖完美化圓為方，終結了自古希臘以來的幾何難題。
3. 正規性與隨機分布猜想
人們懷疑 π 的每一位數都像亂數一般均勻分布，亦即它可能是「正規數」。在統計測試中，已搜尋數兆位的 π 小數並無規律可尋，0～9 出現頻率幾乎相等。然而， π 是否正規仍未被嚴謹證明。
七、文化與趣味：圓周率在大眾生活的影響
- 圓周率日（Pi Day）
每年 3 月 14 日（3/14）被數學界戲稱為「圓周率日」。不少學校會用這天推廣數學，吃「派（Pie）」慶祝，也因為其讀音與 Pi 相同。 - 背誦競賽與紀錄
有人嘗試背到數萬甚至十萬字，經常出現的世界紀錄包括在現場監督下以數小時至十數小時背出大量位數，媒體也每每以趣聞報導。 - 圓周率出版物
有出版社印製只包含 π 的小數位的書，如《圓周率 100 萬位數表》等。令人驚訝的是，這類「純數字」書籍竟然吸引相當數量的愛好者購買。 - τ（tau） vs. π
少數數學家主張以 τ = 2π 取代 π，認為圓周長 ÷ 半徑才是更自然的根本常數。甚至有人把 6 月 28 日（6/28）稱為「τ 節」。儘管如此，主流多數人仍用 π。
常見問題解答（FAQ）
Q1：為什麼圓周率非要用無窮多位？不是用 3.14 或 22 ÷ 7 就夠了嗎？
A1： 在一般工程計算或日常場合，3.14 或 3.14159 已相當足夠，屬於不錯的估計值。但在高精度科學研究（例如衛星導航、量子力學數值模擬等）或測試超級電腦極限時，需要遠超過數百位小數。此外，使用圓周率的大量位數也能協助研究數論、隨機性、檢測電腦運算安全性等。
Q2：π 真的完全無規律嗎？
A2： 目前尚無任何「有理或簡潔」公式能生成 π 的所有位數序列。經過大量統計測試，尚未在其小數序列中發現重複性或規律性。它被廣泛猜測為「正規數」，也就是分布極度隨機，但這點尚未有嚴謹的數學證明。
Q3：為什麼計算機時代依舊有人用級數算法？
A3： 即使在現代，無窮級數（或迭代法）仍是核心。快速演算法通常源自級數與代數結合，如楚德諾夫斯基演算法或梅欽類公式。這些級數收斂飛快，並且能與高效「大數乘法」結合，才得以在短時間內算出幾兆位乃至更高位數。
Q4：圓周率的超越性與化圓為方有何關連？
A4： 傳統的「化圓為方」問題指用尺規作圖構造與已知圓等面積的正方形。由於 π 是超越數，不可能在有限步驟中只用尺和圓規做出長度「√π」。因此，「化圓為方」是幾何上無法達成的。
Q5：布豐投針法是什麼？真的能用隨機擲針近似算出 π？
A5： 布豐投針實驗顯示擲針與平行線的相交概率與 π 有特定關係。只要樣本量夠大，統計得到的結果會逐漸趨近真實圓周率，也能用蒙地卡羅方法大致求出。但受限於隨機誤差，要精確算到很多位並不容易。
總結
圓周率（π）自古以來都是幾何學與數學的代表性常數，它不僅象徵著人類對圓形宇宙觀的好奇與追尋，也呼應了對「無限」的理解。從古埃及與巴比倫時期的粗略測量、阿基米德創立幾何方法、祖沖之在割圓術上的劃時代貢獻，一直到現代計算機技術與無窮級數理論帶來的高精度突破，π 連結了數千年的人類文明智慧。
現代社會的絕大多數實務情境，其實只需要圓周率的前幾十位小數便已綽綽有餘；然而，人們仍樂此不疲地不斷挑戰大規模計算，除了滿足人類「突破極限」的本能，也在數值分析、超級計算機性能測試及數論研究方面帶來多重效益。未來隨著雲端運算、量子計算和更高階算法的加入，圓周率的計算位數還會持續走向前所未有的天文數字。
π 的旅程尚未結束，這個令人著迷的無理常數必將繼續引領人類在真理與美感之間穿梭，並為數學與科技界帶來更多創新與挑戰。